Angabe 2026¶
12 Nichttechnik¶
Aufgabe 1¶
Der Graph \(G_{f}\) einer ganzrationalen Funktion 4. Grades hat genau drei Nullstellen, den absoluten Hochpunkt \(H(4;4)\) und den Definitionsbereich \(\mathbb{R}\) .
Aufgabe (a)¶
Geben Sie das Verhalten von \(f(x)\) an den Rändern der Definitionsbereichs an.
Aufgabe (b)¶
Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf von \(G_{f}\) .
Aufgabe (c)¶
Markieren Sie in der Skizze die Wendepunkte von \(G_{f}\) und geben Sie den Bereich \(B\) aller \(x\)-Werte an, für den gilt: \(f^{\prime\prime}(x)>0\) .
Aufgabe (d)¶
In der oberen Skizze sehen wir \(G_{f}\) und die echt monoton fallende Gerade \(G_{g}\) mit der Nullstelle \(x=4\) . \(G_{f}\) , \(G_{g}\) und die \(x\)-Achse schließen eine endliche Fläche ein. Geben Sie den Ansatz zur Berechnung der Flächenzahl dieser Fläche an.
Aufgabe 2¶
Wir betrachten die Funktion \(h\) mit dem Term \(h(x)=e^{2x}\) und \(x\in\mathbb{R}\) .
Aufgabe (a)¶
Ermitteln Sie denjenigen Term \(H(x)\) einer Stammfunktion von \(h\) , deren Graph durch den Punkt \(Q(0;2)\) verläuft.
Aufgabe (b)¶
Lösen Sie die Gleichung \(h(x)=H(x)\) .
Aufgabe (c)¶
Die Lösung der obigen Gleichung ist \(x_{S}=\frac{1}{2}\ln3\) . Erklären Sie die Bedeutung dieser Lösung für den Graphen \(G_{H}\) .
Aufgabe 3¶
Hockeyspieler Jack möchte auf einem zugefrorenen See Schlittschuh laufen. Er ist der Meinung, dass die Eisdecke bereits eine ausreichende Dicke besitzt und ein Einbrechen ins Wasser nicht passieren wird. Vorsichtshalber wirft er einige schwere Steine auf die Eisdecke. Formulieren Sie für diese Situation eine Nullhypothese und die zugehörige Gegenhypothese und beschreiben Sie den Fehler 1. und 2. Art. Welcher Fehler ist in diesem Fall der schwerwiegendere?
12 Technik¶
Aufgabe 1¶
Wir betrachten das Dreieck \(ABC\) . Die Längenzahl der Grundlinie ist \(\left|\overline{AB}\right|=100\) und die Längenzahl der Höhe ist \(H=60\) . In das Dreieck \(ABC\) zeichnen wir Dreiecke mit der Basis \(b\) und der Höhe \(h\) ein. Die Basis b ist parallel zu der Grundlinie \(\overline{AB}\) und wir ziehen die Basis \(b\) von der einen Seite bis zur anderen Seite des Dreieck \(ABC\) durch. Außerdem ist die Summe aus der Längenzahl von \(b\) und der Längenzahl der Höhe \(h\) gleich \(140\) , also \(b+h=140\) .
Aufgabe (a)¶
Ermitteln Sie die Formel \(A(b)\) zur Berechnung der Flächenzahl des Dreiecks mit Basis \(b\) und Höhe \(h\) in Anhängigleit von \(b\) .
Aufgabe (b)¶
Der Definitionsbereich der obigen Formel ist \(b\in[87.5;100]\) . Erklären Sie die geometrische Bedeutung der Randwerte dieses Intervalls.
Aufgabe (c)¶
Es gilt \(A(100)<A(87.5)\) . Berechnen Sie denjenigen Wert \(b\) , für den die Flächenzahl des Dreiecks mit Basis \(b\) und Höhe \(h\) absolut am größten ist.
Aufgabe 2¶
Wir betrachten die Funktion \(h\) mit dem Term \(h(x)=e^{2x+5}\) und \(x\in\mathbb{R}\) .
Aufgabe (a)¶
Bestimmen Sie \(\int h(x)dx\) und \(h^{\prime}(x)\) .
Aufgabe (b)¶
Lösen Sie die Gleichung \(h^{\prime}(x)=\int h(x)dx\) in Abhängigkeit von der Konstanten \(C\) .
Aufgabe (c)¶
Welche geometrische Bedeutung hat die Lösung der obigen Gleichung für die Funktion \(h\) ?
Aufgabe 3¶
Wir betrachten die Vektorgleichung \(r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}=\vec{d}\) mit Vektoren aus dem \(\mathbb{R}^{3}\) . Alle gewählten Vektoren sind nicht parallel zueinander und verschieden vom Nullvektor. Die Koordinaten der Vektoren sind so gewählt, dass die Vektorgleichung eine Lösungsmenge mit unendlich vielen Elementen hat. Nun tauschen wir den Vektor \(\vec{d}\) auf der rechten Seite mit einem neuen Vektor \(\vec{g}\) aus. Was lässt sich nun zur Lösbarkeit der neuen Vektorgleichung sagen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 4¶
Welche Lage im kartesischen Koordinatensystem des \(\mathbb{R}^{3}\) nehmen die Punkte ein, deren Koordinatensumme doppelt so groß ist wie der Wert der ersten Koordinate?